MOMENTUM LINIER

PUSAT MASSA

    Dalam gerak translasi, tiap titik pada benda mengalami pergeseran yang sama dengan titik lainnya sepanjang waktu, sehingga gerak dari salah satu partikel dapat menggambarkan gerak seluruh benda. Tetapi, walaupun di dalam geraknya, benda juga berotasi atau bervibrasi, akan ada satu titik pada benda yang bergerak serupa dengan gerak partikel, titik tersebut disebut pusat massa.

   

Misalkan terdapat n buah partikel dengan massa masing-masing, m_1, m₂, ...,  m_n, sepanjang garis lurus dengan jarak dari titik asal masing-masing x₁, x₂, ..., x_n didefinisikan mempunyai koordinat pusat massa :

                         m₁x₁ + m₂x₂ + ...  + m_n x_n

                          m₁  + m₂, + ...  + m_n

                        å m_ix_i

                        å m_i

                        å m_ix_i

                           M

Dengan cara yang sama bila partikel terdistribusi dalam 3 dimensi (ruang), koordinat pusat massanya adalah

                        å m_ix_i

                           M

                        å m_iy_i

                           M

                        å m_iz_i

                           M

Untuk benda pejal, misalkan bola, silinder dsb, dianggap benda tersebut tersusun atas partikel-partikel yang terdistribusi secara kontinu. Bila benda terbagi menjadi n buah elemen dengan massa masing-masing Dm dan untuk Dm           0 koordinat  pusat massanya :

                        å Dm_ix_i             ò x dm ò x dm

                          å Dm_i                        ò dm                 M

                        å Dm_iy_i                        ò y dm               ò y dm

                         å Dm_i                         ò dm                 M

                        å Dm_iz_i                        ò z dm   ò z dm

                         å Dm_i                         ò dm                 M

Read more »

impuls dan momentum serta hukum kekekalan momentum

Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantam tongkat pemukul, tongkat bersentuhan dengan bola hanya dalam waktu yang sangat singkat, sedangkan pada waktu tersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar pada bola. Gaya yang cukup besar dan terjadi dalam waktu yang relatif singkat ini disebut gaya impulsif.

Dua buah partikel saling bertumbukan. Pada saat bertumbukan kedua partikel saling memberikan gaya (aksi-reaksi),  F₁₂  pada partikel 1 oleh partikel 2 dan F₂₁ pada partikel 2 oleh partikel 1.

Perubahan momentum pada partikel 1 :

                                                   t_f           

                                    Dp₁=  ò F₁₂  dt  = Fr₁₂ Dt

                                          t_i           

Perubahan momentum pada partikel  :

                                                   t_f           

                                    Dp₂ =  ò F₂₁  dt  = Fr₂₁ Dt

                                           t_i           

Karena F₂₁ = - F₁₂  maka  Fr₂₁ = - Fr₁₂

oleh karena itu Dp₁  = - Dp₂

Momentum total sistem : P = p₁ +  p₂  dan perubahan momentum total sistem :                          
                            DP  = Dp₁  + Dp₂  = 0

            “Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja, maka tumbukan tidak mengubah momentum total sistem”.           

                                               

Catatan : selama tumbukan gaya eksternal (gaya grvitasi, gaya gesek) sangat kecil dibandingkan dengan gaya impulsif, sehingga gaya eksternal tersebut dapat diabaikan.

TUMBUKAN SATU DIMENSI

Tumbukan biasanya dibedakan dari kekal-tidaknya tenaga kinetik selama proses. Bila tenaga kinetiknya kekal, tumbukannya bersifat elstik. Sedangkan bila tenaga kinetiknya tidak kekal tumbukannya tidak elastik. Dalam kondisi setelah tumbukan kedua benda menempel dan bergerak bersama-sama, tumbukannya tidak elastik sempurna.

Tumbukan elastik

Dari kekekalan momentum :

                        m₁ v₁    + m₂ v₂  = m₁v’₁ + m₂v’₂

Dari kekekalan tenaga kinetik :

                        1/2 m₁ v₁²         + 1/2m₂ v₂²  = 1/2m₁v’₁² + 1/2 m₂v₂’²

Dan diperoleh :  v₁ - v₂  = v’₂ - v’₁

_{Tumbukan tidak elastik}

Dari kekekalan momentum :

                                    m₁ v₁    + m₂ v₂  = m₁v’₁ + m₂v’₂

Kekekalan tenaga mekanik tidak berlaku, berkurang/bertambahnya tenaga mekanik ini berubah/berasal dari tenaga potensial deformasi (perubahan bentuk).

Dari persamaan ketiga tumbukan elastis dapat dimodifikasi menjadi :

                                    v₁ - v₂

                                v’₁ - v’₂

e : koefisien elastisitas,

             e = 1   untuk tumbukan elastis

             0 < e < 1         untuk tumbukan tidak elastis

             e = 0   untuk tumbukan tidak elastis sempurna 

TUMBUKAN DUA DIMENSI

Dari kekekalan momentum , untuk komponen gerak dalam arah x :

                                    m₁ v₁      = m₁v’₁ cos q₁+ m₂v’₂ cos q₂

untuk komponen gerak dalam komponen y :

                                    0  = m₁v’₁ sin q₁- m₂v’₂ sin q₂

Bila dianggap tumbukannya lenting :

                        1/2 m₁ v₁²         + 1/2m₂ v₂²  = 1/2m₁v’₁² + 1/2 m₂v₂’²

Bila keadaan awal diketahui, masih ada 4 besaran yang tidak diketahui, tetapi persaamannya hanya 3, oleh karena itu slah satu besaran keadaan akhir harus diberikan.      



Jika temen2 ingin  melihat animasi SWF momentum silahkan klik disini

Read more »

SISTEM DENGAN MASSA BERUBAH

Sebuah sistem bermassa M dengan pusat massa bergerak dengan kecepatan v. Pada sistem bekerja gaya eksternal Feks.

Selang waktu Dt sistem melepaskan massaDM yang pusat massanya bergerak dengan kecepatan u terhadap pengamat dan massa sistem berubah menjadi M - DM dan kecepatannya menjadi v + Dv.

Dari hukum Newton,

                                                F_eks  = dP/dt

                                                F_eks  @ DP/Dt = (P_f -P_i)/ Dt

 dengan P_i adalah momentum mula-mula = M v, dan

                 P_f adalah momentum akhir = (M - DM) (v + Dv) + DM u

                                                F_eks  @ [{(M - DM) (v + Dv) + DM u} - M.v ] /Dt

                                                F_eks  = M Dv/Dt + [ u - (v + Dv) ] DM/Dt

Untuk Dv® 0,  

                                    Dv/Dt ® dv/dt

                                    DM/Dt ® - dM/dt

                                    Dv ® 0

maka                F_eks  = M dv/dt + v dM/dt - u dM/dt

atau

                                    F_eks  = d(Mv)/dt  - u dM/dt

atau

                                    F_eks  = M dv/dt + (v - u) dM/dt

                                    M dv/dt = F_eks + (u - v) dM/dt

dimana (u - v) merupakan kecepatan relatif massa yang ditolakkan terhadap benda utamanya.

                                    M dv/dt = F_eks + v_rel dM/dt

Untuk kasus roket, v_rel dM/dt merupakan daya dorong roket.

Read more »

GERAK PUSAT MASSA

Terdapat sekumpulan partikel dengan massa masing-masing : m₁, m₂ , ... ,  m_n dengan massa total M. Dari teori pusat massa diperoleh :

                                    M r_pm = m₁r₁ + m₂r₂ + ...  + m_n r_n

dengan r_pm adalah pusat massa susunan partikel tersebut.

Bila persamaan tersebut dideferensialkan  terhadap waktu t, diperoleh

                                    M dr_pm /dt= m₁ dr₁/dt + m₂  dr₂/dt + ...  + m_n dr_n/dt

                                    M v_pm = m₁v₁ + m₂v₂ + ...  + m_n v_n

Bila dideferensialkan sekali lagi, diperoleh

                                    M dv_pm /dt= m₁ dv₁/dt + m₂  dv₂/dt + ...  + m_n dv_n/dt

                                    M a_pm = m₁ a₁ + m₂ a₂ + ...  + m_n a_n

Menurut hukum Newton, F = m a, maka F₁ = m₁ a₁,  F₂  = m₂ a₂    dst.

Jadi massa total dikalikan percepatan pusat massa sama dengan jumlah vektor semua gaya yang bekerja pada sekelompok partikel tersebut. Karena gaya internal selalu muncul berpasangan (saling meniadakan), maka tinggal gaya eksternal saja

                                    M a_pm = F_eks

Pusat massa suatu sistem partikel bergerak seolah-olah dengan seluruh sistem dipusatkan di pusat massa itu dan semua gaya eksternal bekerja di titik tersebut.

Read more »

momentum dan impuls ppt

Impuls Dan Momentum. toni irawan

Read more »